自己解決しましたので記載させていただきます。
症状：Inkペンのボタンを長押ししても、赤い点滅が二回あり、消えてしまう。
原因：充電不良だった。
充電していると思ったら、していませんでした。ペンをキャップに入れてケーブルをつなぐと、赤い点滅を繰り返していました。私はこれが充電のサインとおもっていましたが、これは充電のサインで はなく「接触不良で充電はされていない」というアラートのようです。
きちんと充電されている時は、赤い点灯は、Macのスリープ時のように、おだやかにゆっくりと点滅をくりかえします。充電完了するとキャップ部分がレインボー色に変わります。
この状態が充電完了ですので、再度ペンのボタンを長押しすると無事に使えました。
ペン自体はシンプルな構造ですので、トラブルの多くは充電不良によるものではないでしょうか？